Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 4.8 trang 157 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 4.8 trang 157 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi...

Đề bài

Cho dãy số \(\displaystyle \left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức truy hồi

\(\displaystyle \left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

Chứng minh rằng \(\displaystyle \left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn khi \(\displaystyle n\to +\infty \). Tìm giới hạn đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm công thức tổng quát và tính giới hạn

Lời giải chi tiết

\(\displaystyle \left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm\,\,{ vớii }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_2} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2}\\{u_3} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}}\\{u_4} = \dfrac{9}{8} = \dfrac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\\{u_5} = \dfrac{{17}}{{16}} = \dfrac{{{2^4} + 1}}{{{2^4}}}\end{array}\)

Dự đoán \({u_n} = \dfrac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\,\left( * \right)\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Thật vậy,

+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = \dfrac{{{2^{1 - 1}} + 1}}{{{2^{1 - 1}}}} = 2\) nên đúng.

+) Giả sử \(\left( * \right)\) đúng với \(n = k\), nghĩa là \({u_k} = \dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}}\), ta cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

Ta có:

\({u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2}\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {{u_k} + 1} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}} + 1} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}\)  \( = \dfrac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{{2.2}^{k - 1}}}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

\( \Rightarrow dpcm\).

Từ đó, 

\(\displaystyle \eqalign{
& \lim {u_n} = \lim {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}} \cr 
& = \lim \left[ {1 + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^{n - 1}}} \right] \cr 
& = \lim \left[ {1 + 2.{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \right] = 1 \cr}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua