Bài 3.29 trang 151 SBT hình học 11


Đề bài

Tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) AH, SK và BC đồng quy.

b) SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\)

c) HK vuông góc với mặt phẳng (SBC) và \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng lý thuyết: "Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu có đường thẳng nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì đường thẳng đó sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại".

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

a) Gọi A’ là giao điểm của AH và BC. Ta cần chứng minh ba điểm S, K, A’ thẳng hàng.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên \(AA' \bot BC\). Mặt khác theo giả thiết ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), do đó \(SA \bot BC\). Từ đó ta suy ra \(BC \bot \left( {SAA'} \right)\) và \(BC \bot SA'\). Vậy SA’ là đường cao của tam giác SBC nên SA’ là phải đi qua trực tâm K. Vậy ba đường thẳng AH, SK và BC đồng quy.

b) Vì K là trực tâm của tam giác SBC nên \(BK \bot SC\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác ta có \(BH \bot AC\) vì H là trực tâm của tam giác ABC và \(BH \bot SA\) vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\).

Do đó \(BH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(BH \bot SC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) ta suy ra \(SC \bot \left( {BHK} \right)\). Vì mặt phẳng (SAC) chứa SC mà \(SC \bot \left( {BHK} \right)\) nên ta có \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\).

c) Ta có

\(\left. \matrix{
BC \bot \left( {SAA'} \right),BC \bot HK \hfill \cr 
SC \bot \left( {BHK} \right),SC \bot HK \hfill \cr} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)\)

Mặt phẳng (BHK) chứa HK mà \(HK \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(\left( {BHK} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu
  • Bài 3.30 trang 151 SBT hình học 11

    Giải bài 3.30 trang 151 sách bài tập hình học 11. Tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B và , có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a...

  • Bài 3.31 trang 151 SBT hình học 11

    Giải bài 3.31 trang 151 sách bài tập hình học 11. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)...

  • Bài 3.32 trang 152 SBT hình học 11

    Giải bài 3.32 trang 152 sách bài tập hình học 11. a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB)...

  • Bài 3.28 trang 151 SBT hình học 11

    Giải bài 3.28 trang 151 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp đều S.ABC. Chứng minh...

  • Bài 3.27 trang 151 SBT hình học 11

    Giải bài 3.27 trang 151 sách bài tập hình học 11. a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông ...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.