SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống Bài tập cuối chương I - SBT Toán 11 KNTT

Giải bài 1.55 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Rút gọn các biểu thức sau

Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Kết nối tri thức (mới)

Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau

a) \(\frac{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - \cos ({{45}^0} + \alpha )}}{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \cos ({{45}^0} + \alpha )}}\);                    

b) \(\frac{{\sin 2\alpha  + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha  + \cos \alpha }}\);

c) \(\frac{{1 + \cos \alpha  - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha  - \sin \alpha }}\);

d) \(\frac{{\sin \alpha  + \sin 3\alpha  + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha  + \cos 2\alpha  + \cos 5\alpha }}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức cộng, công thức cơ bản, công thức góc nhân đôi, công thức biên đổi tổng thành tích để biến đổi linh hoạt, rút gọn

\(\begin{array}{l}\cos (\alpha  + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha .\sin \beta \\\sin (\alpha  + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha .\sin \beta \end{array}\)

\(\frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \tan a\); \(\frac{{\cos a}}{{\sin a}} = \cot a\)

\(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\);

\(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \);

\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\end{array}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - \cos ({{45}^0} + \alpha )}}{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \cos ({{45}^0} + \alpha )}}\\ = \frac{{\sin {{45}^0}\cos \alpha  + \cos {{45}^0}\sin \alpha  - (\cos {{45}^0}\cos \alpha  - \sin {{45}^0}\sin \alpha )}}{{\sin {{45}^0}\cos \alpha  + \cos {{45}^0}\sin \alpha  + (\cos {{45}^0}\cos \alpha  - \sin {{45}^0}\sin \alpha )}}\\ = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha  + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha  - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right)}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha  + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha  + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt 2 \sin \alpha }}{{\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha .\end{array}\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin 2\alpha  + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha  + \cos \alpha }} = \frac{{2\sin \alpha .\cos \alpha  + \sin \alpha }}{{1 + 2{{\cos }^2}\alpha  - 1 + \cos \alpha }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sin \alpha (2\cos \alpha  + 1)}}{{2{{\cos }^2}\alpha  + \cos \alpha }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sin \alpha .(2\cos \alpha  + 1)}}{{\cos \alpha .(2\cos \alpha  + 1)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \tan \alpha .\end{array}\)

c) Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{1 + \cos \alpha  - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha  - \sin \alpha }}\\ = \frac{{1 + 2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 1 - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} \right) - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}\\ = \frac{{2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}\\ = \frac{{2\cos \frac{\alpha }{2}.\left( {\cos \frac{\alpha }{2} - \sin \frac{\alpha }{2}} \right)}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}.\left( {\sin \frac{\alpha }{2} - \cos \frac{\alpha }{2}} \right)}}\\ =  - \frac{{\cos \frac{\alpha }{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}}} =  - \cot \frac{\alpha }{2}.\end{array}\)

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin \alpha  + \sin 3\alpha  + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha  + \cos 3\alpha  + \cos 5\alpha }}\\ = \frac{{\left( {\sin \alpha  + \sin 5\alpha } \right) + \sin 3\alpha }}{{\left( {\cos \alpha  + \cos 5\alpha } \right) + \cos 3\alpha }}\\ = \frac{{2\sin \frac{{\alpha  + 5\alpha }}{2}\cos \frac{{\alpha  - 5\alpha }}{2} + \sin 3\alpha }}{{2\cos \frac{{\alpha  + 5\alpha }}{2}\cos \frac{{\alpha  - 5\alpha  + \cos 3\alpha }}{2}}}\\ = \frac{{2\sin 3\alpha .\cos ( - 2\alpha ) + \sin 3\alpha }}{{2\cos 3\alpha \cos ( - 2\alpha ) + \cos 3\alpha }}\\ = \frac{{\sin 3\alpha (2\cos ( - 2\alpha ) + 1)}}{{\cos 3\alpha (2\cos ( - 2\alpha ) + 1)}} = \frac{{\sin 3\alpha }}{{\cos 3\alpha }} = \tan 3\alpha .\end{array}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua