Bài 147 trang 98 SBT Toán 8 tập 1


Đề bài

Hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2AD.\) Gọi \(P,\, Q\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\, CD.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AQ\) và \(DP,\) gọi \(K\) là giao điểm của \(CP\) và \(BQ.\) Chứng minh rằng \(PHQK\) là hình vuông.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vận dụng dấu hiệu nhận biết của các hình đã học để tìm lời giải cho bài toán.

Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật

Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Xét tứ giác \(APQD\) ta có:

\(AB // CD\) (gt) hay \(AP // QD\)

\(AP =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\) (gt)

\(QD =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(CD\) (gt)

\(AB= CD\) (vì ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra: \(AP = QD\) nên tứ giác \(APQD\) là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat A = {90^0}\) (vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra: Tứ giác \(APQD\) là hình chữ nhật

Mà \(AD = AP =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\)

Vậy : Tứ giác \(APQD\) là hình vuông

\(⇒ AQ ⊥ PD\) (tính chất hình vuông) \( \Rightarrow \widehat {PHQ} = {90^0}\) (1)

\(HP = HQ\) (tính chất hình vuông)

- Xét tứ giác \(PBCQ\) ta có:

\(PB // CD\)

\(PB =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\) (gt)

\(CQ =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(CD\) (gt)

\(AB = CD\) (do ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra: \(PB = CQ\) nên tứ giác \(PBCQ\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Lại có: \(\widehat B = {90^0}\) (vì ABCD là hình chữ nhật) suy ra tứ giác \(PBCQ\) là hình chữ nhật

Mà \(PB = BC\) (vì cùng bằng \(AD =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\))

Vậy: Tứ giác \(PBCQ\) là hình vuông

\(⇒ PC ⊥ BQ\) (tính chất hình vuông) \( \Rightarrow \widehat {PKQ} = {90^0}\)(2)

\(PD\) là tia phân giác \(\widehat {APQ}\) (tính chất hình vuông)

\(PC\) là tia phân giác \(\widehat {QPB}\) (tính chất hình vuông)

Suy ra: \(PD ⊥ PC\) (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù) \(⇒  \widehat {HPK} = {90^0}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác \(PHQK\) là hình chữ nhật có \(HP = HQ\) (chứng minh trên) nên \(PHQK\) là hình vuông.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 21 phiếu
  • Bài 148 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 148 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC ...

  • Bài 149 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 149 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm F, trên cạnh DC lấy điểm E sao cho AF = DE. Chứng minh rằng AE = BF và AE ⊥ BF...

  • Bài 150 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 150 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho một hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông...

  • Bài 151 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 151 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa C và D. Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Kẻ FH vuông góc với AE (H thuộc AE), FH cắt BC ở G...

  • Bài 152 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 152 trang 99 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh CD lấy điểm A, trên tia đối của tia DC lấy điểm K, trên tia đối tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM. Vẽ hình vuông DKIH...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.