Phương pháp giải:

Xét xem \(a = 81\) có thỏa mãn ĐKXĐ hay không sau đó thay vào để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Khi \(a = 81\;\;\left( {tm} \right) \Rightarrow P = \frac{{81 - 9}}{{\sqrt {81}  - 3}} = \frac{{72}}{{9 - 3}} = \frac{{72}}{6} = 12\)

Vậy khi \(a = 81\) thì \(P = 12.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(a \ge 0,\;\;a \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}Q = \frac{3}{{\sqrt a  - 3}} + \frac{2}{{\sqrt a  + 3}} + \frac{{a - 5\sqrt a  - 3}}{{a - 9}} = \frac{{3\left( {\sqrt a  + 3} \right) + 2\left( {\sqrt a  - 3} \right) + a - 5\sqrt a  - 3}}{{\left( {\sqrt a  - 3} \right).\left( {\sqrt a  + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{3\sqrt a  + 9 + 2\sqrt a  - 6 + a - 5\sqrt a  - 3}}{{a - 9}} = \frac{a}{{a - 9}}.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính \(A,\) đưa kết quả về dạng sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ triệt tiêu hết \(a.\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(a > 9.\)

\(A = P.Q = \frac{{a - 9}}{{\sqrt a  - 3}}.\frac{a}{{a - 9}} = \frac{a}{{\sqrt a  - 3}} = \sqrt a  + 3 + \frac{9}{{\sqrt a  - 3}} = \left( {\sqrt a  - 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a  - 3}} + 6\)

Vì  \(a > 9 \Rightarrow \sqrt a  - 3 > 0 \Rightarrow \frac{9}{{\sqrt a  - 3}} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\left( {\sqrt a  - 3} \right)\) và \(\frac{9}{{\sqrt a  - 3}}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {\sqrt a  - 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a  - 3}} \ge 2.\sqrt {\left( {\sqrt a  - 3} \right).\frac{9}{{\sqrt a  - 3}}}  = 6\\ \Rightarrow A = \left( {\sqrt a  - 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a  - 3}} + 6 \ge 12.\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt a  - 3 = \frac{9}{{\sqrt a  - 3}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a  - 3} \right)^2} = 9\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt a  - 3 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt a  - 3 = 3 \Leftrightarrow \sqrt a  = 6 \Leftrightarrow a = 36\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(\min A = 12\) đạt được khi \(a = 36\).

Chọn C.