Phương pháp giải:

+) Đặt ĐKXĐ để biểu thức có nghĩa.

+) Phân tích đa thức thành nhân tử: \(x - \sqrt x  - 2 = (\sqrt x  + 1)(\sqrt x  - 2)\)

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi sau đó rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Đk:  \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - \sqrt x  - 2\\\sqrt x  \ne 2\\1 - \sqrt x  \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) \ne 0\\x \ne 4\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{x - \sqrt x  + 2}}{{x - \sqrt x  - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{1 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} = \left[ {\frac{{x - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}} \right]:\frac{{1 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}\\ = \frac{{x - \sqrt x  + 2 + 2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\left( {x - \sqrt x  + 2 + 2\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{x + \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các tính chất: Tổng các số nguyên là một số nguyên và phân số là số nguyên khi tử chia hết cho mẫu.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 1,\;\;x \ne 4.\)

Ta có: \(A = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x  + 1 + 1}}{{\sqrt x  + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\)

\( \Rightarrow \) Để A là số nguyên thì \(\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right)\) là ước của 1\( \Leftrightarrow \sqrt x  + 1 \in \left\{ { \pm 1} \right\}\)

+)\(\sqrt x  + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\;\left( {tm} \right)\)

+)\(\sqrt x  + 1 =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt x  =  - 2\) (vô lý)

Vậy \(x = 0\) thì \(A\) là số nguyên.

Chọn D.