Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn phân thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{1 - x}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}\\ = \frac{{\sqrt x  + 1 + \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 1 + x - \sqrt x  - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tìm giá trị biểu thức P, từ đó kết hợp điều kiện đề bài xét dấu P để tìm x

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\;x \ne 1.\)

\(P = B:A = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}:\frac{{x + 3}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{x + 3}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{x + 3}}\)

Vì \(x \ge 0 \Rightarrow x + 3 > 0\)

Để \(P < 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 1}}{{x + 3}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  < 1 \Leftrightarrow x < 1\)

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow 0 \le x < 1\)

Vậy với \(0 \le x < 1\) thì \(P < 0.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính và biến đổi \(\frac{1}{P}\) sao cho để khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si có thể triệt tiêu được hết x, từ đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{1}{P}.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\;x \ne 1.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{P} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2} + 2\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2} + 2\left( {\sqrt x  - 1} \right) + 4}}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\;\;\; = 2 + \left( {\sqrt x  - 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x  - 1}}.\end{array}\)

Vì \(x > 1\) nên \(\sqrt x  - 1 > 0\) \( \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x  - 1}} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(\left( {\sqrt x  - 1} \right)\) và \(\frac{4}{{\sqrt x  - 1}}\) ta được:

\(\left( {\sqrt x  - 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x  - 1}} \ge 2\sqrt 4  = 4 \Rightarrow \frac{1}{P} = 2 + \left( {\sqrt x  - 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x  - 1}} \ge 2 + 4 = 6\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 = \frac{4}{{\sqrt x  - 1}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 = 2\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt x  - 1 > 0} \right)\) 

\( \Leftrightarrow \sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = 9\;\;\left( {tm} \right)\)

Vậy \(\min \frac{1}{P} = 6\) đạt được khi \(x = 9.\)

Chọn C.