Phương pháp giải:

- Sử dụng biểu thức liên hợp

- Rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết:

\(P = \left( {\frac{{2a + 1}}{{\sqrt {{a^3}}  - 1}} - \frac{{\sqrt a }}{{a + \sqrt a  + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + \sqrt {{a^3}} }}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right)\)

ĐKXĐ: \(a \ge 0,\,\,a \ne 1\).

\(\begin{array}{l}P = \left[ {\frac{{2a + 1}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {a + \sqrt a  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt a .\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {a + \sqrt a  + 1} \right)}}} \right].\left[ {\frac{{\left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a  + a} \right)}}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right]\\P = \frac{{2a + 1 - \left( {a - \sqrt a } \right)}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {a + \sqrt a  + 1} \right)}}.\left( {1 - \sqrt a  + a - \sqrt a } \right)\\P = \frac{{\left( {a + \sqrt a  + 1} \right)\left( {1 - 2\sqrt a  + a} \right)}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {a + \sqrt a  + 1} \right)}}\\P = \frac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a  - 1}} \Leftrightarrow P = \sqrt a  - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow S = P\sqrt {1 - a}  = \left( {\sqrt a  - 1} \right)\sqrt {1 - a} \).

Kết hợp điều kiện của biểu thức \(P\), điều kiện có nghĩa của \(S\): \(0 \le a < 1\).

Khi đó: \(P = \sqrt a  - 1 < 0\) và \(\sqrt {1 - a}  > 0\).

Suy ra: \(S = P\sqrt {1 - a}  < 0\)

Vậy \(S < 0\) với mọi \(x\) để biểu thức có nghĩa.