Phương pháp giải:

- Sử dụng biểu thức liên hợp.

- Rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) - \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x  - 1 + \sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right).\left( {\frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1 - \sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1 + \sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{4\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

Vậy \(P = \frac{{4\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}\) (1)

a) Ta có \(x = \frac{{\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } }}{2} = \frac{{\sqrt {{2^2} - 2.2.\sqrt 3  + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\left| {2 - \sqrt 3 } \right|}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\,\,\left( {Do\,\,2 - \sqrt 3  > 0} \right)\)

\( \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}}  = \frac{{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\left| {\sqrt 3  - 1} \right|}}{2} = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2}\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 3  - 1 > 0} \right)\)

Thay \(\sqrt x  = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2}\) vào  biểu thức P ta được:

\(P = \frac{{4\left( {\frac{{\sqrt 3  - 1}}{2}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3  - 1}}{2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{8\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}} = \frac{{8\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{4 + 2\sqrt 3 }} = \frac{{4\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{2 + \sqrt 3 }} = 4\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) =  - 20 + 12\sqrt 3 \)

Vậy khi \(x = \frac{{\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } }}{2}\) thì \(P = 20 - 12\sqrt 3 \).

b) Theo bài ra ta có \(P = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2\sqrt x  + 1 = 8\sqrt x  \Leftrightarrow x - 6\sqrt x  + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 3 + 2\sqrt 2 \\\sqrt x  = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 17 + 12\sqrt 2 \\x = 17 - 12\sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy với \(x = 17 + 12\sqrt 2 \)hoặc \(x = 17 - 12\sqrt 2 \) thì \(P = \frac{1}{2}\).