Phương pháp giải:

- Sử dụng biểu thức liên hợp

- Rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết:

1) Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a  + 2}} + \frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 2}} + \frac{{5\sqrt a  + 2}}{{4 - a}}\\P = \frac{{3\sqrt a \left( {\sqrt a  - 2} \right) + \left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right) - \left( {5\sqrt a  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\P = \frac{{\left( {3a - 6\sqrt a } \right) + \left( {a + 3\sqrt a  + 2} \right) - \left( {5\sqrt a  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\P = \frac{{4a - 8\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\P = \frac{{4\sqrt a \left( {\sqrt a  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt a }}{{\sqrt a  + 2}}\end{array}\)

2) Với \(a = \sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3}\\\,\,\,\,\,\, = \left( {1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9} + 1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right) + 3.\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right).\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}.\sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}\\\,\,\,\,\,\, = \,2 + 3.a.\sqrt[3]{{\left( {1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \,2 + 3a\sqrt[3]{{\frac{{ - 1}}{{27}}}}\\\,\,\,\,\,\, = \,2 - a\end{array}\)

Vậy a là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{a^3} = 2 - a\\ \Leftrightarrow {a^3} + a - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,{a^2} + a + 2 = {{\left( {a + 1} \right)}^2} + 1 > 0\,\forall a} \right)\end{array}\)

Thay \(a = 1\) vào P ta được \(P = \frac{4}{3}\).