Phương pháp giải:

1) Thay \(x = 36\) vào biểu thức để tính

2) Thực hiện quy đồng mẫu số để rút gọn

3) Rút gọn biểu thức \(P = B\left( {A - 1} \right)\), sau đó chia cả tử cho mẫu, tìm điều kiện của mẫu để mẫu chia hết cho phần dư trên tử.

Lời giải chi tiết:

1) Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 2}}\left( {x \ge 0} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 36\).

Thay \(x = 36\) vào biểu thức ta có: \(A = \frac{{\sqrt {36}  + 4}}{{\sqrt {36}  + 2}} = \frac{{6 + 4}}{{6 + 2}} = \frac{5}{4}\).

Vậy khi \(x = 36\) thì \(A = \frac{5}{4}\).\(\) 

2) Rút gọn biểu thức \(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x  - 4}}} \right):\frac{{x + 16}}{{\sqrt x  + 2}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 16\)).

ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 16\)

\(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x  - 4}}} \right):\frac{{x + 16}}{{\sqrt x  + 2}}\\\;\;\; = \left( {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}} + \frac{{4\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}}} \right):\frac{{x + 16}}{{\sqrt x  + 2}}\\\;\;\; = \frac{{x - 4\sqrt x  + 4\sqrt x  + 16}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {4^2}}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 16}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 16}}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 16}}\).

3) Với các biểu thức \(A,B\)nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của \(x\) để giá trị của biểu thức \(P = B\left( {A - 1} \right)\)là số nguyên.

ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 16\). Với điều kiện trên ta có:

\(P = B\left( {A - 1} \right) = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 16}}.\left( {\frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 2}} - 1} \right) = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 16}}.\frac{{\sqrt x  + 4 - \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{2}{{x - 16}}.\)

Để biểu thức \(P\) nguyên thì \(x - 16\) phải là ước của 2

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,x \ne 16\\\left[ \begin{array}{l}x - 16 = 2\\x - 16 =  - 2\\x - 16 = 1\\x - 16 =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,x \ne 16\\\left[ \begin{array}{l}x = 18\\x = 14\\x = 15\\x = 17\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 18\\x = 14\\x = 15\\x = 17\end{array} \right.\)

Vậy với \(x = 18,x = 17,x = 15,x = 14\) thì giá trị của biểu thức \(P = B\left( {A - 1} \right)\)là số nguyên.

Chọn B.