Phương pháp giải:

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) là \(f\left( x \right) \ge 0\) và \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\) là \(f\left( x \right) \ne 0.\)

b) Rút gọn biểu thức A  sau đó giải phương trình \(A = \frac{4}{5}\) để tìm \(x.\) Sau đó đối chiếu với điều kiện xác định để kết luận \(x.\)

c) Biến đổi \(A = a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\;\;b \in Z.\)

Khi đó \(A \in Z \Leftrightarrow \) tử số chia hết cho mẫu số hay mẫu số là ước của tử số.

Lập bảng hoặc giải phương trình tìm \(x.\) Sau đó đối chiếu với điều kiện xác định để kết luận \(x.\)

Lời giải chi tiết:

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.

Biểu thức \(A\) xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\9 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\)

b) Tìm \(x\) để \(A = \frac{4}{5}.\)

Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2x - 3\sqrt x  + 9}}{{9 - x}}\\\;\;\; = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{2x - 3\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + \sqrt x  + 3 - 2x + 3\sqrt x  - 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{2x - 6\sqrt x  - 2x + 4\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{ - 2\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \frac{{ - 2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\; = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x  - 3}}.\\ \Rightarrow A = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{4}{5}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow 4\sqrt x  - 12 =  - 10\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow 4\sqrt x  = 2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{1}{2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow x = 4\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(x = 4\) thì \(A = \frac{4}{5}.\)

c) Tìm số nguyên của \(x\) để biểu thức \(A\) có giá trị nguyên.

Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 9.\)

Ta có: \(A =  - \frac{2}{{\sqrt x  - 3}}.\)

Để \(A \in Z\) thì \(\frac{{ - 2}}{{\sqrt x  - 3}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 3} \right) \in U\left( { - 2} \right).\)

Mà \(U\left( { - 2} \right) = \left\{ { \pm 1;\; \pm 2} \right\} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 3 =  - 2\\\sqrt x  - 3 =  - 1\\\sqrt x  - 3 = 1\\\sqrt x  - 3 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 1\\\sqrt x  = 2\\\sqrt x  = 4\\\sqrt x  = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\;\left( {tm} \right)\\x = 4\;\;\left( {tm} \right)\\x = 16\;\;\left( {tm} \right)\\x = 25\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy \(x \in \left\{ {1;\;4;\;16;\;25} \right\}\) thì \(A \in Z.\)

Chọn B.