Phương pháp giải:

a) Sử dụng biểu thức liên hợp và đưa căn thức dạng \(\sqrt {{A^2} + B\sqrt C } \) thành hẳng đẳng thức \(\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}}  = \left| {a + b} \right|\).

b) Đưa căn thức dạng \(\sqrt {{A^2} + B\sqrt C } \) thành hẳng đẳng thức \(\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}}  = \left| {a + b} \right|\).

c) Đưa các biểu thức dưới dấu căn về dạng hằng đẳng thức.

d) Lập phương biểu thức đã cho, sử dụng công thức \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\). Xác định đa thức nhận A làm nghiệm.

Lời giải chi tiết:

 \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,A = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \\\,\,\,\,A = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + \sqrt {4 - 4\sqrt 3  + 3}  = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \\\,\,\,\,A = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + 2 - \sqrt 3  = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} + 2 - \sqrt 3  = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{1} + 2 - \sqrt 3  = 4\\b)\,\,\sqrt {7 - 2\sqrt {12} }  - \sqrt {7 + 2\sqrt {12} } \\\sqrt {7 - 2\sqrt {12} }  - \sqrt {7 + 2\sqrt {12} }  = \sqrt {4 - 2.\sqrt 4 .\sqrt 3  + 3}  - \sqrt {4 + 2.\sqrt 4 .\sqrt 3  + 3} \\ = \sqrt {{2^2} - 2.2.\sqrt 3  + {{\sqrt 3 }^2}}  - \sqrt {{2^2} + 2.2.\sqrt 3  + {{\sqrt 3 }^2}}  = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \\ = 2 - \sqrt 3  - \left( {2 + \sqrt 3 } \right) =  - 2\sqrt 3 \\c)\,\,\sqrt[3]{{6\sqrt 3  + 10}} - \sqrt[3]{{6\sqrt 3  - 10}}\\ = \sqrt[3]{{6\sqrt 3  + 10}} - \sqrt[3]{{6\sqrt 3  - 10}} = \sqrt[3]{{3\sqrt 3  + 9 + 3\sqrt 3  + 1}} - \sqrt[3]{{3\sqrt 3  - 9 + 3\sqrt 3  - 1}}\\ = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3} + 3.{{\sqrt 3 }^2}.1 + 3.\sqrt 3 {{.1}^2} + {1^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3} - 3.{{\sqrt 3 }^2}.1 + 3.\sqrt 3 {{.1}^2} - {1^3}}}\\ = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^3}}} = \sqrt 3  + 1 - \left( {\sqrt 3  - 1} \right) = 2\\d)\,\,Dat\,A = \sqrt[3]{{29\sqrt 2  + 45}} + \sqrt[3]{{45 - 29\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {A^3} = {\left( {\sqrt[3]{{29\sqrt 2  + 45}} + \sqrt[3]{{45 - 29\sqrt 2 }}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow {A^3} = 29\sqrt 2  + 45 + 45 - 29\sqrt 2  + 3.\sqrt[3]{{29\sqrt 2  + 45}}.\sqrt[3]{{45 - 29\sqrt 2 }}.\left( {\sqrt[3]{{29\sqrt 2  + 45}} + \sqrt[3]{{45 - 29\sqrt 2 }}} \right)\\ \Leftrightarrow {A^3} = 90 + 3.A.\sqrt[3]{{343}} = 90 + 21A\\ \Leftrightarrow {A^3} - 90 - 21A = 0\\ \Leftrightarrow \left( {A - 6} \right)\left( {{A^2} + 6A + 15} \right) = 0\\ \Leftrightarrow A = 6\end{array}\)

Vì \({A^2} + 6A + 15 = {A^2} + 2.A.3 + 9 + 6 = {(A + 3)^2} + 6 > 0\)

Vậy \(A = \sqrt[3]{{29\sqrt 2  + 45}} + \sqrt[3]{{45 - 29\sqrt 2 }} = 6\).