Phương pháp giải:

a) Thay \(x = 81\) vào biểu thức \(A\) để tính giá trị

b) Rút gọn hai biểu thức\(A\) và B sau đó nhân chúng vào với nhau và rút gọn.

c) Xét hiệu \(P - {P^2}\) để so sánh.

Lời giải chi tiết:

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\) với\(x > 0,x \ne 25\).

a)      Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 81\).

Với\(x = 81\) ta có\(A = \frac{{\sqrt {81}  - 5}}{{\sqrt {81} }} = \frac{{9 - 5}}{9} = \frac{4}{9}\).

Vậy với \(x = 81\) ta có\(A = \frac{4}{9}\).

b)     Cho \(P = A.B\), chứng minh rằng \(P = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \frac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{x + 5\sqrt x  - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}.\end{array}\)

Xét\(P = A.B = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}.\frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\).

Vậy \(P = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\).

c)      So sánh \(P\) và \({P^2}\).

Xét hiệu \(P - {P^2} = P\left( {1 - P} \right)\).

Nhận thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  + 2 > 0\;\forall x > 0\\\sqrt x  + 5 > 0\;\forall x > 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > 0\;\forall x > 0\).                    (1)

Xét \(1 - P = 1 - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}} = \frac{{\sqrt x  + 5 - \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 5}} = \frac{3}{{\sqrt x  + 5}}\).

Vì \(\sqrt x  + 5 > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x  + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow 1 - P > 0\;\forall x > 0\).                        (2)

Từ (1) và (2)\( \Rightarrow P\left( {1 - P} \right) > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P - {P^2} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > {P^2}\;\forall x > 0\).

Vậy \(P > {P^2}\) với mọi x thỏa mãn  ĐKXĐ.

Chọn đáp án A.