Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) cần tìm đi qua \(H\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) có bán kính đáy \(R\) nhận \(\overrightarrow {IH} \) làm VTPT.

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};\;{y_0};\;{z_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {A;\;B;\;C} \right)\) có phương trình: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {1; - 2;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = \left( {3;\,\,4;\,\,0} \right).\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) cần tìm đi qua \(H\left( {4;\,\,2;\,\,3} \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) nhận \(\overrightarrow {IH} \) làm VTPT.

\( \Rightarrow \left( P \right):\,\,\,3\left( {x - 4} \right) + 4\left( {y - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 4y - 20 = 0.\)

Chọn D.