Lời giải chi tiết:

Ta có: $y' = \dfrac{{\left( {{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m} \right).\left( {3{x^2} - 2mx + 12} \right)}}{{\left| {3{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m} \right|}}$.

Để hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$ thì $y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m} \right).\left( {3{x^2} - 2mx + 12} \right)}}{{\left| {3{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m} \right|}} \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m} \right).\left( {3{x^2} - 2mx + 12} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array}$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - 2mx + 12 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2mx \le 3{x^2} + 12\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m \le \dfrac{{3{x^2} + 12}}{{2x}} = g\left( x \right)\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} g\left( x \right)\end{array}$.

Xét hàm số $g\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} + 12}}{{2x}}$ với $x \in \left( {1; + \infty } \right)$ ta có $g'\left( x \right) = \dfrac{{6x.2x - 2\left( {3{x^2} + 12} \right)}}{{4{x^2}}} = \dfrac{{6{x^2} - 24}}{{4{x^2}}}$.

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$.

BBT:

Từ BBT ta suy ra $m \le 6$.

Với $m \le 6$, ta có hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - m{x^2} + 12x + 2m$ có $y' = 3{x^2} - 2mx + 12 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)$, do đó hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - m{x^2} + 12x + 2m$ đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$, suy ra $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1 - m + 12 + 2m = m + 13$.

Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) \ge 0$, suy ra $m + 13 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 13$.

Kết hợp lại ta có $- 13 \le m \le 6$.

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m \le 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\3{x^2} - 2mx + 12 \le 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.$

Dựa vào BBT hàm số $g\left( x \right)$ ở TH1 ta suy ra bất phương trình (3) vô nghiệm, do đó TH này không thỏa mãn.

Vậy $- 13 \le m \le 6$, mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 13; - 12;...;5;6} \right\}$ nên có 20 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.