Câu hỏi
Có bao nhiêu giá trị nguyên của mm để hàm số y=|x3−mx2+12x+2m|y=∣∣x3−mx2+12x+2m∣∣luôn đồng biến trên khoảng (1;+∞)(1;+∞)?
- A 1818
- B 1919
- C 2121
- D 2020
Lời giải chi tiết:
Ta có: y′=(x3−mx2+12x+2m).(3x2−2mx+12)|3x3−mx2+12x+2m|.
Để hàm số đồng biến trên (1;+∞) thì y′≥0∀x∈(1;+∞).
⇔(x3−mx2+12x+2m).(3x2−2mx+12)|3x3−mx2+12x+2m|≥0∀x∈(1;+∞)⇔(x3−mx2+12x+2m).(3x2−2mx+12)≥0∀x∈(1;+∞)
TH1: {x3−mx2+12x+2m≥0∀x∈(1;+∞)(1)3x2−2mx+12≥0∀x∈(1;+∞)(2)
(2)⇔2mx≤3x2+12∀x∈(1;+∞)⇔m≤3x2+122x=g(x)∀x∈(1;+∞)⇔m≤min[1;+∞)g(x).
Xét hàm số g(x)=3x2+122x với x∈(1;+∞) ta có g′(x)=6x.2x−2(3x2+12)4x2=6x2−244x2.
g′(x)=0⇔6x2−24=0⇔[x=2(tm)x=−2(ktm).
BBT:
Từ BBT ta suy ra m≤6.
Với m≤6, ta có hàm số y=f(x)=x3−mx2+12x+2m có y′=3x2−2mx+12≥0∀x∈(1;+∞), do đó hàm số y=f(x)=x3−mx2+12x+2m đồng biến trên (1;+∞), suy ra min[1;+∞)f(x)=f(1)=1−m+12+2m=m+13.
Ta có: (1)⇔min[1;+∞)f(x)≥0, suy ra m+13≥0⇔m≥−13.
Kết hợp lại ta có −13≤m≤6.
TH2: {x3−mx2+12x+2m≤0∀x∈(1;+∞)(3)3x2−2mx+12≤0∀x∈(1;+∞)(4)
Dựa vào BBT hàm số g(x) ở TH1 ta suy ra bất phương trình (3) vô nghiệm, do đó TH này không thỏa mãn.
Vậy −13≤m≤6, mà m∈Z⇒m∈{−13;−12;...;5;6} nên có 20 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.