Phương pháp giải:

Đối với hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\;\;\left( {x \ne  - \frac{d}{c}} \right),\)  hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số.

Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm số: \(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}.\)

Hàm số đồng biến trên tập xác định \( \Leftrightarrow y' > 0\,\,\forall x \in D.\)

Hàm số nghịch biến trên tập xác định \( \Leftrightarrow y' < 0\,\,\forall x \in D.\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)  

Ta có: \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 2 - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Chọn A.