Lời giải chi tiết:

Ta có: \(g\left( x \right) = 2f\left( {\left| {x - 1} \right|} \right) - {x^2} + 2x + 2020 = 2f\left( {\left| {x - 1} \right|} \right) - {\left( {x - 1} \right)^2} + 2021\)

Đặt \(t = \left| {x - 1} \right| \ge 0\) ta có \(g\left( x \right) = 2f\left( t \right) - {t^2} + 2021\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( t \right) - 2t = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = t\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và \(y = t\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(f'\left( t \right) = t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 1\\t = 3\end{array} \right.\).

Với \(t = 1 \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\end{array} \right.\).

Với \(t = 3 \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 2\end{array} \right.\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 2;0} \right)\).

Chọn D.