Phương pháp giải:

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x + 3 \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 4\) 

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 4 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {m^2} - 4 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2\end{array}\)

Mà \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\)

Có 5 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.