Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Tính đạo hàm của hàm số.

- Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định thì \(y' < 0\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\).

Ta có: \(y' = \dfrac{{m\left( {m + 1} \right) - 2m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \dfrac{{{m^2} - m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\,\,\forall x \in D\).

Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó thì \(y' < 0\,\,\forall x \in D\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 < 0\\\left( { - 1; + \infty } \right) \subset D\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 2\\ - m \notin \left( { - 1; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 2\\ - m \le  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m < 2\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 1\).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.