Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Biến đổi biểu thức \(K\)  về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(K \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm điều kiện của \(x\)  để \(K\)  xác định và rút gọn \(K.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 1 \ne 0\\\sqrt x  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}K = \left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{x - 4\sqrt x  - 1}}{{x - 1}}} \right).\frac{{\sqrt x  + 2003}}{{\sqrt x }}\\ = \left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{x - 4\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right).\frac{{\sqrt x  + 2003}}{{\sqrt x }}\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2} + x - 4\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 2003}}{{\sqrt x }}\\ = \frac{{x + 2\sqrt x  + 1 - x + 2\sqrt x  - 1 + x - 4\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 2003}}{{\sqrt x }}\\ = \frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 2003}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x  + 2003}}{{\sqrt x }}.\end{array}\)

b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\)  để \(K\)  nguyên.

Điều kiện \(x > 0,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(K = \frac{{\sqrt x  + 2003}}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{{2003}}{{\sqrt x }}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow K \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{{2003}}{{\sqrt x }}} \right) \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{{2003}}{{\sqrt x }} \in \mathbb{Z}\\ \Rightarrow \sqrt x  \in U\left( {2003} \right) \Leftrightarrow \sqrt x  \in \left\{ {1;\,\,\,2003} \right\}\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt x  > 0\,\,\forall x > 0} \right).\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 1\\\sqrt x  = 2003\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = {2003^2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = {2003^2}\)  thì \(K\)  nguyên.