Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(P\) xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi \(x = 4 - 2\sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)\) rồi thay vào biểu thức, tính giá trị của biểu thức \(P.\)

c) Để \(\frac{1}{P}\) là số tự nhiên thì \(P = 1.\) Giải phương trình, tìm \(x\) rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm điều kiện xác định của \(P\)  và rút gọn \(P.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + \sqrt x  - 2 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) \ne 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x + \sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - 2} \right):\frac{1}{{x - 1}}\\ = \left( {\frac{{3x + 3\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - 2} \right).\left( {x - 1} \right)\\ = \frac{{3x + 3\sqrt x  - 3 + \sqrt x  + 2 + \sqrt x  - 1 - 2\left( {x + \sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}.\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\ = \frac{{3x + 5\sqrt x  - 2 - 2x - 2\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 2}}.\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\ = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 2}}.\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\ = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}}.\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\ = {\left( {\sqrt x  + 1} \right)^2}.\end{array}\)

b) Tính giá trị của \(P\)  khi \(x = 4 - 2\sqrt 3 .\)

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(x = 4 - 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 2.\sqrt 3 .1 + 1 = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 3  - 1} \right| = \sqrt 3  - 1.\\ \Rightarrow P = {\left( {\sqrt 3  - 1 + 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3.\end{array}\)

Vậy với \(x = 4 - 2\sqrt 3 \) thì \(P = 3.\)

c) Tìm các số tự nhiên \(x\)  để \(\frac{1}{P}\) là một số tự nhiên.

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(\frac{1}{P} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\)

Ta thấy với \(\forall x \ge 0\,\, \Rightarrow 0 < \frac{1}{P} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{P} = 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\frac{1}{P} \in \mathbb{N}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sqrt x  + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  + 1 = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = 0\)  thì \(\frac{1}{P}\) là số tự nhiên.