Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(P\) xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi biểu thức \(P\)  về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\1 - x \ne 0\\2\sqrt x  - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\\sqrt x  \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne \frac{1}{4}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = 1 - \left( {\frac{{2x - 1 + \sqrt x }}{{1 - x}} + \frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x }}{{1 + x\sqrt x }}} \right)\left[ {\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}} \right]\\ = 1 - \left[ {\frac{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}} \right].\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}\\ = 1 - \left( {\frac{{2\sqrt x  - 1}}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{x - \sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}\\ = 1 - \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}\\ = 1 - \frac{{x - \sqrt x  + 1 + \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}.\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\\ = 1 - \frac{{x - \sqrt x  + 1 + \sqrt x  - x}}{{x - \sqrt x  + 1}}.\left( {x - \sqrt x } \right)\\ = 1 - \frac{{x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}} = \frac{{x - \sqrt x  + 1 - x + \sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}}\\ = \frac{1}{{x - \sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

b) Tìm các giá trị \(x\)  nguyên để \(P\)  nguyên.

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\,\,x \ne \frac{1}{4}.\)

\(\begin{array}{l}P \in Z \Leftrightarrow \frac{1}{{x - \sqrt x  + 1}} \in Z \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt x  + 1} \right) \in U\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow x - \sqrt x  + 1 = 1\,\,\,\,\left( {do\,\,x - \sqrt x  + 1 = {{\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4} > 0\,\,\forall x \ge 0} \right)\\ \Leftrightarrow x - \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(x = 0\)  thì \(P\)  nguyên.