Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(M\) xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi biểu thức \(M\)  về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(M \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(M\) xác định và rút gọn \(M.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x\sqrt x  - 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\\2x + \sqrt x  - 1 \ne 0\\2\sqrt x  - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right) \ne 0\\x \ne 1\\\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {2\sqrt x  - 1} \right) \ne 0\\\sqrt x  \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne \frac{1}{4}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}M = \left( {\frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - 1}}{{2x + \sqrt x  - 1}} - \frac{x}{{2\sqrt x  - 1}}\\ = \left( {\frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right).\frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{x}{{2\sqrt x  - 1}}\\ = \left( {\sqrt x  - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\frac{{\sqrt x  - 1}}{{2\sqrt x  - 1}} - \frac{x}{{2\sqrt x  - 1}}\\ = \frac{{x - \sqrt x  - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{2\sqrt x  - 1}} - \frac{x}{{2\sqrt x  - 1}}\\ = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}} - \frac{x}{{2\sqrt x  - 1}} = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}.\end{array}\)

b) Xác định giá trị nguyên của \(x\) để \(M\) nguyên.

Điều kiện \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne \frac{1}{4}\)  

Ta có: \(M = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}} =  - \frac{{2\sqrt x  - 1 + 1}}{{2\sqrt x  - 1}} =  - 1 - \frac{1}{{2\sqrt x  - 1}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M \in Z \Leftrightarrow \left( { - 1 - \frac{1}{{2\sqrt x  - 1}}} \right) \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt x  - 1}} \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow \left( {2\sqrt x  - 1} \right) \in U\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {2\sqrt x  - 1} \right) \in \left\{ { \pm 1} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sqrt x  - 1 = 1\\2\sqrt x  - 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sqrt x  = 2\\2\sqrt x  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(x = 0\)  thì \(M\)  nguyên.