Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Biến đổi biểu thức \(Q = P - \sqrt x \)  về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(Q \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(P\) có nghĩa và rút gọn \(P.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  - 1 \ne 0\\x\sqrt x  + \sqrt x  - x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {1 + \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{x\sqrt x  + \sqrt x  - x - 1}}} \right) - 1\\ = \frac{{x + 1 + \sqrt x }}{{x + 1}}:\left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right) - 1\\ = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{x + 1}}:\frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - 1\\ = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{x + 1}}.\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}} - 1\\ = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} - 1 = \frac{{x + \sqrt x  + 1 - \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\\ = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x  - 1}}.\end{array}\)

b) Tìm các giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để biểu thức \(Q = P - \sqrt x \) nhận giá trị nguyên.

Điều kiện \(x \ge 0,x \ne 1\)

 Ta có: \(Q = P - \sqrt x  = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x  - 1}} - \sqrt x  = \frac{{x + 2 - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt x  - 1 + 3}}{{\sqrt x  - 1}} = 1 + \frac{3}{{\sqrt x  - 1}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q \in Z \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{3}{{\sqrt x  - 1}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x  - 1}} \in Z\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 1} \right) \in U\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 1} \right) \in \left\{ { \pm 1;\, \pm 3} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 1 =  - 3\\\sqrt x  - 1 =  - 1\\\sqrt x  - 1 = 1\\\sqrt x  - 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  - 2\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 2\\\sqrt x  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 16\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(x = 0,\,\,x = 4\)  hoặc \(x = 16\) thì \(Q = P - \sqrt x \) nguyên.