Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện xác định để biểu thức xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn giá trị của biểu thức.

b) Biến đổi biểu thức \(P\)  về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

c) Giải bất phương trình \(P < 1,\) tìm \(x,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2} - 3\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x  + 1 + x - 2\sqrt x  + 1 - 3\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{2x - 3\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{2x - 2\sqrt x  - \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) là số nguyên.

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(P = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{2\sqrt x  + 2 - 3}}{{\sqrt x  + 1}} = 2 - \frac{3}{{\sqrt x  + 1}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow \left( {2 - \frac{3}{{\sqrt x  + 1}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} \in Z\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right) \in U\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right) \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\,\,\left( {do\,\,\sqrt x  + 1 \ge 1\,\,\forall x \ge 0;\,\,x \ne 1} \right).\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 1 = 1\\\sqrt x  + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 0\)   hoặc \(x = 4\)  thì \(P\)  nguyên.

c) Tìm \(x\) để \(P < 1.\)

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}P < 1 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x  - 1 - \sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x  - 2 < 0\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt x  + 1 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x  < 2\\ \Leftrightarrow x < 4.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(0 \le x < 4;\,\,x \ne 1\) thì \(P < 1.\)