Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn giá trị của biểu thức.

b) Biến đổi biểu thức \(P\)  về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(P \in {\mathbb{Z}^ + } \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1,\,\,\,x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}}  - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{x + 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\\ = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {\frac{{x + \sqrt x  + 1 - x - 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\\ = \frac{{2x + 1 - x - \sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x  - 3}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\ = \frac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x \ne 9} \right)\\ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}.\end{array}\)

b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên dương.

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1,\,\,\,x \ne 9.\)

Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{{\sqrt x  - 3 + 3}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \frac{3}{{\sqrt x  - 3}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \in {Z^ + } \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in Z\\\frac{3}{{\sqrt x  - 3}} >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in Z\\\frac{{3 + \sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 3}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt x  - 3} \right) \in U\left( 3 \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} > 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\(1) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 3} \right) \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 3 = 1\\\sqrt x  - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 4\\\sqrt x  = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = 36\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 16\)  hoặc \(x = 36\)  thì \(P\)  nguyên dương.