Phương pháp giải:

a) Thay giá trị \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức \(A.\)

b) Quy đồng mẫu và biến đổi để rút gọn biểu thức.

c) Dựa vào điều kiện của \(x\) để đánh giá tập giá trị của biểu thức \(P,\) từ đó suy ra các giá trị nguyên của \(P\) và từ đó tìm \(x.\) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 25.\)

Điều kiện \(x \ge 0.\)

Với \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\)  ta có: \(A = \frac{7}{{\sqrt {25}  + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}.\)

b) Rút gọn biểu thức \(B.\)

Rút gọn B: với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  - 24}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) + 2\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{x + 5\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x  + 8\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}\)

c) Tìm \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị nguyên.

Ta có: \(P = A.B = \frac{7}{{\sqrt x  + 8}}.\frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{7}{{\sqrt x  + 3}}.\)

Vì \(x \ge 0 \Rightarrow P > 0.\)

Có \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 3 \ge 3 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{7}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{7}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 < P \le \frac{7}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 1\\P = 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {do\,\,\,P \in Z} \right).\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{7}{{\sqrt x  + 3}} = 1\\\frac{7}{{\sqrt x  + 3}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 3 = 7\\\sqrt x  + 3 = \frac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 4\\\sqrt x  = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

ĐK:\(x \ge 0;\,\,x \ne 9.\)

Vậy \(x = 16\)  hoặc \(x = \frac{1}{4}\)  thì \(P = A.B\)  nguyên.

Chú ý khi giải: Chú ý, với bài toán này, đề bài yêu cầu tìm \(x \in \mathbb{R}\) để \(P \in \mathbb{Z}\) nên mình cần đánh giá tập giá trị của biểu thức của \(P,\) từ đó suy ra các giá trị nguyên của \(P\) rồi tìm \(x.\)

Các bạn học sinh thường hay nhầm lẫn với dạng toán \(x \in \mathbb{Z}\)  để \(P \in \mathbb{Z}.\)