Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Biến đổi \(x,\) đối chiều với điều kiện sau đó thay giá trị của \(x\) vào biểu thức vừa rút gọn được ở câu a) rồi tính giá trị biểu thức.

c) Giải bất phương trình \(P <  - \frac{1}{2}\) để tìm \(x\) sau đó đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận.

d) Biến đổi biểu thức \(P\)  về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  - 3 \ne 0\\x - 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}:\frac{{2\sqrt x  - 2 - \sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{2x - 6\sqrt x  + x + 3\sqrt x  - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 3\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}\)

b) Tính giá trị của \(P\) biết \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}.\)

Điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\)   

Ta có: \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}}{4}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}}{4}}  = \frac{{\left| {\sqrt 5  - 1} \right|}}{2} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}.\\ \Rightarrow P = \frac{{ - 3}}{{\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2} + 3}} = \frac{{ - 3.2}}{{\sqrt 5  - 1 + 6}} = \frac{{ - 6}}{{\sqrt 5  + 5}} = \frac{{ - 6\left( {5 - \sqrt 5 } \right)}}{{{5^2} - 5}} = \frac{{6\sqrt 5  - 30}}{{20}} = \frac{{3\sqrt 5  - 15}}{{10}}.\end{array}\)

c) Tìm \(x\) để \(P <  - \frac{1}{2}.\)

Điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\)  

\(\begin{array}{l}P <  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow  - \frac{3}{{\sqrt x  + 3}} <  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x  + 3}} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{6 - \sqrt x  - 3}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow 3 - \sqrt x  > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x  + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x  < 3 \Leftrightarrow x < 9.\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được với \(0 \le x < 9\) thì \(P <  - \frac{1}{2}\).

d) Tìm \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}.\)

Điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\)  

\(\begin{array}{l}P \in Z \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 3} \right) \in U\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 3} \right) \in \left\{ {1;\,3} \right\}\,\,\left( {do\,\,\sqrt x  + 3 > 0\,\,\forall \,x \ge 0;\,\,\,x \ne 9} \right).\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 3 = 1\\\sqrt x  + 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  - 2\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = 0\)  thì \(P \in Z\).