Phương pháp giải:

a) Thay giá trị \(x = 36\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức \(A.\)

b) Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

c) Tính và biến đổi biểu thức \(B\left( {A - 1} \right)\) về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(B\left( {A - 1} \right) \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 2}}\). Tính giá trị biểu thức \(A\)  khi \(x = 36.\)

Điều kiện: \(x \ge 0.\)

Với \(x = 36\,\,\left( {tm} \right)\)  ta được: \(A = \frac{{\sqrt {36}  + 4}}{{\sqrt {36}  + 2}} = \frac{{6 + 4}}{{6 + 2}} = \frac{5}{4}.\)

Vậy với \(x = 36\)  thì \(A = \frac{5}{4}.\)

b) Rút gọn biểu thức \(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x  - 4}}} \right):\frac{{x + 16}}{{\sqrt x  + 2}}\) (với \(x \ge 0;\,\,\,x \ne 16\))

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 16.\)

 \(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x  - 4}}} \right):\frac{{x + 16}}{{\sqrt x  + 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 4} \right) + 4\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 16}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x - 4\sqrt x  + 4\sqrt x  + 16}}{{x - 16}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 16}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 16}}.\end{array}\)

c) Với các biểu thức \(A,\,\,B\)  nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của \(x\)  để giá trị của biểu thức \(B\left( {A - 1} \right)\)  là số nguyên.

Với điều kiện \(x \ge 0,x \ne 16,\)  ta có:

 \(B\left( {A - 1} \right) = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 16}}\left( {\frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 2}} - 1} \right) = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 16}}.\frac{{\sqrt x  + 4 - \sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{2}{{x - 16}}.\)

Để \(B\left( {A - 1} \right) \in Z\) thì \(\left( {x - 16} \right) \in U\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 16} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2} \right\}.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 16 =  - 2\\x - 16 =  - 1\\x - 16 = 1\\x - 16 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 14\,\,\left( {tm} \right)\\x = 15\,\,\left( {tm} \right)\\x = 17\,\,\left( {tm} \right)\\x = 18\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\) 

Vậy với \(x \in \left\{ {14;\,\,15;\,\,17;\,\,18} \right\}\) thì \(B\left( {A - 1} \right) \in Z\).