Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa.

Quy đồng mẫu, biến đổi rồi rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi biểu thức \(A\)  về dạng \(m + \frac{n}{{MS}}\) với \(m,\,\,n \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức ..

Đối chiếu với điều kiện của \(a\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn \(A.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\8 + 2\sqrt a  - a \ne 0\\4 - \sqrt a  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right) \ne 0\\\sqrt a  \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a \ne 16\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{\sqrt a \left( {2\sqrt a  + 1} \right)}}{{8 + 2\sqrt a  - a}} + \frac{{\sqrt a  + 4}}{{\sqrt a  + 2}} - \frac{{\sqrt a  + 2}}{{4 - \sqrt a }}\\ = \frac{{2a + \sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right)}} + \frac{{\sqrt a  + 4}}{{\sqrt a  + 2}} - \frac{{\sqrt a  + 2}}{{4 - \sqrt a }}\\ = \frac{{2a + \sqrt a  + \left( {\sqrt a  + 4} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right) - {{\left( {\sqrt a  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right)}}\\ = \frac{{2a + \sqrt a  + 16 - a - a - 4\sqrt a  - 4}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right)}}\\ = \frac{{12 - 3\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right)}} = \frac{{3\left( {4 - \sqrt a } \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right)}}\\ = \frac{3}{{\sqrt a  + 2}}.\end{array}\)

b) Tìm \(a\)  để \(A\)  nguyên.

Điều kiện: \(a \ge 0,\,\,a \ne 16.\)

Ta có với \(\forall a \ge 0 \Rightarrow A = \frac{3}{{\sqrt a  + 2}} > 0.\)

Có \(\sqrt a  \ge 0 \Rightarrow \sqrt a  + 2 \ge 2 &  \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt a  + 2}} \le \frac{1}{2} &  \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt a  + 1}} \le \frac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 < A \le \frac{3}{2} \Rightarrow A = 1\,\,\,\left( {do\,\,A \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt a  + 2 = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt a  = 1\\ \Leftrightarrow a = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(a = 1\)  thì \(A\)  nguyên.