Phương pháp giải:

- Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\), sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế với  \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}}  = \ln \left| {f\left( x \right)} \right| + C;\,\,\,\,f\left( 0 \right) = 1\).

- Tính giá trị của \(f\left( {\sqrt 2 } \right)\).

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết ta có: \(f'\left( x \right) - x.f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = x\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx}  = \int {xdx}  \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + C,\,\,\,\left( {\forall f\left( x \right) > 0} \right).\)

Mặt khác, \(f\left( 0 \right) = 1\) nên \(\ln f\left( 0 \right) = \dfrac{{{0^2}}}{2} + C \Leftrightarrow \ln 1 = C \Leftrightarrow C = 0.\)

Do đó, \(\ln f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}.\)

Vậy \(f\left( {\sqrt 2 } \right) = {e^{\dfrac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{2}}} = e.\)

Chọn A.