Phương pháp giải:

- Sử dụng quy tắc tính nguyên hàm của thương: \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right).f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow f\left( x \right).f''\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right).f''\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\,f\left( x \right) > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]' =  1\\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} =  - \int {1dx = }   x + C\\ \Rightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}}  = \int {\left( {x + C} \right)dx} \\ \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + Cx + D\,\,\left( {do\,\,f\left( x \right) > 0} \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \ln f\left( 0 \right) = D = 0\\f\left( 2 \right) = {e^4} \Rightarrow \ln f\left( 2 \right) = \dfrac{{{2^2}}}{2} + 2C + D\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \ln {e^4} = 2 + 2C \Leftrightarrow C = 1\end{array}\)

Khi đó ta có: \(\ln f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + x \Rightarrow \ln f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} \Rightarrow f\left( 1 \right) = {e^{\frac{3}{2}}}.\)

Chọn B.