Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\int {\dfrac{{u'\left( x \right)}}{{u\left( x \right)}}} \,dx = \int {\dfrac{1}{{u\left( x \right)}}} \,d\left( {u\left( x \right)} \right) = \ln \left| {u\left( x \right)} \right| + C\)

Lời giải chi tiết:

Xét các hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\), có:\(g\left( x \right) =  - x.f'\left( x \right)\), \(f\left( x \right) =  - x.g'\left( x \right)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right) =  - x.{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)^\prime } \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)}^\prime }}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}} =  - \dfrac{1}{x}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{{{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)}^\prime }}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}dx}  = \int\limits_1^4 {\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \left. {\ln \left| {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right|} \right|_1^4 =  - \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^4\\ \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( 4 \right) + g\left( 4 \right)} \right| - \ln \left| {f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right)} \right| =  - \ln 4 + \ln 1\\ \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( 4 \right) + g\left( 4 \right)} \right| - \ln 4 =  - \ln 4\\ \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( 4 \right) + g\left( 4 \right)} \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| {f\left( 4 \right) + g\left( 4 \right)} \right| = 1\end{array}\)

Mà các hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) nhận giá trị dương, nên \(f\left( 4 \right) + g\left( 4 \right) = 1\).

Chọn D.