Phương pháp giải:

a) Thay giá trị của \(x\) (tmđk) vào biểu thức và tính giá trị.

b) Quy đồng mẫu thức và rút gọn biểu thức.

c) Rút gọn \(P = A.B.\) Áp dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN

Lời giải chi tiết:

Cho hai biểu thức  \(A = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}\)và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{9 - x}}\) với \(x > 0;x \ne 9.\)

a) Tính \(A\)  khi \(x = 25.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 9.\)

Có:\(x = 25\) (tmđk)

Thay \(x = 25\) vào \(A\)   ta được: \(A = \frac{{25 + 7}}{{3\sqrt {25} }} = \frac{{32}}{{15}}\)

Vậy khi \(x = 25\) thì  \(A = \frac{{32}}{{15}}.\)

b) Rút gọn biểu thức \(B.\)

Điều kiện xác định: \(x > 0;x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{9 - x}}\\ = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) - \left( {7\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \frac{{2x - 6\sqrt x  + x + 4\sqrt x  + 3 - 7\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \frac{{3x - 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\) với  \(x > 0;x \ne 9.\)

c) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = AB.\) 

Điều kiện xác định: \(x > 0;x \ne 9\)

\(P = A.B = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}.\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{{x + 7}}{{\sqrt x  + 3}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{x - 9 + 16}}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}}\\ = \sqrt x  - 3 + \frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}} = \left( {\sqrt x  + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}} - 6\end{array}\)

Với mọi \(x > 0,\,\,\,x \ne 9\) ta có: \(\sqrt x  + 3 > 0;\,\,\,\frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}} > 0.\)

Áp dụng BĐT Cô –si cho hai số dương \(\left( {\sqrt x  + 3} \right)\) và \(\frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {\sqrt x  + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x  + 3} \right).\frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}}} \\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}} \ge 8\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}} - 6 \ge 2\end{array}\)

Hay \(P \ge 2.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  + 3 = \frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}} \Rightarrow {\left( {\sqrt x  + 3} \right)^2} = 16\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 3 = 4\\\sqrt x  + 3 =  - 4\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \sqrt x  = 1 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2 \Leftrightarrow x = 1.\)

Chọn A.