Câu hỏi
Cho biểu thức \(C = \left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} - \frac{1}{{a - \sqrt a }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{2}{{a - 1}}} \right),\,\,\,\,\left( {a > 0,\,\,a \ne 1} \right)\)
Câu 1:
Rút gọn biểu thức \(C.\)
- A \(C = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}\)
- B \(C = \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 1}}\)
- C \(C = \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a }}\)
- D \(C = \frac{{a - 1}}{{\sqrt a }}\)
Phương pháp giải:
Quy đồng mẫu số và rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định: \(a > 0;a \ne 1\)
\(\begin{array}{l}C = \left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} - \frac{1}{{a - \sqrt a }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{2}{{a - 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \,\left[ {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} - \frac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right]\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt a .\sqrt a - 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt a - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}.\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}} = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}.\left( {\sqrt a - 1} \right)\\\,\,\,\, = \frac{{a - 1}}{{\sqrt a }}.\end{array}\)
Vậy \(C = \frac{{a - 1}}{{\sqrt a }}\) với \(a > 0;a \ne 1.\)
Chọn D.
Câu 2:
Tính giá trị biểu thức \(C\) khi \(a = 3 - 2\sqrt 2 \).
- A \(2\)
- B \(-2\)
- C \(1\)
- D \(-1\)
Phương pháp giải:
Thay giá trị của \(a\) (tmđk) vào biểu thức và tính giá trị.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(a > 0,\,\,a \ne 1.\)
Có:\(a = 3 - 2\sqrt 2 \) (tmđk)
\( \Rightarrow a = 2 - 2\sqrt 2 + 1 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} \Rightarrow \sqrt a = \sqrt 2 - 1\)
Thay vào \(\sqrt a = \sqrt 2 - 1\) ta được: \(C = \frac{{3 - 2\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 - 1}} = \frac{{2 - 2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} = \frac{{2\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2 - 1}} = - 2.\)
Vậy khi \(a = 3 - 2\sqrt 2 \) thì \(C = - 2.\)
Chọn B.
Câu 3:
Tìm các giá trị của \(a\) sao cho \(C < 0\).
- A \(a > 0\)
- B \(0 < a < 1\)
- C \(a > 1\)
- D \(a \ge 1\)
Phương pháp giải:
Giải bất phương trình kết hợp với điều kiện xác định để tìm a thỏa mãn.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định: \(a > 0;a \ne 1\)
\(\begin{array}{l}C < 0 \Leftrightarrow \frac{{a - 1}}{{\sqrt a }} < 0 \Leftrightarrow a - 1 < 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt a > \,\,\forall x > 0,\,\,x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow a < 1.\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện xác định \( \Rightarrow 0 < a < 1\)
Vậy \(0 < a < 1\) thì \(C < 0\).
Chọn B.
Câu hỏi trước
