Phương pháp giải:

Đặt \(x = {a^2},\,\,y = {b^2}\), quy đồng và rút gọn \(M\).

Biến đổi biểu thức \(\frac{{{x^4} + {y^4}}}{{{x^4} - {y^4}}}\) theo \(M\), từ đó biểu diễn \(N\) theo \(M\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x = {a^2},y = {b^2}\) thì \(M = \frac{{x + y}}{{x - y}} + \frac{{x - y}}{{x + y}} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{{x^2} - {y^2}}}\)

\(N = \frac{{{x^4} + {y^4}}}{{{x^4} - {y^4}}} + \frac{{{x^4} - {y^4}}}{{{x^4} + {y^4}}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^4} + {y^4}}}{{{x^4} - {y^4}}} = \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}}}{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\frac{M}{2} + \frac{2}{M}} \right) = \frac{{{M^2} + 4}}{{4M}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{{x^4} - {y^4}}}{{{x^4} + {y^4}}} = \frac{{4M}}{{{M^2} + 4}}\)

\( \Rightarrow N = \frac{{{M^2} + 4}}{{4M}} + \frac{{4M}}{{{M^2} + 4}} = \frac{{{{\left( {{M^2} + 4} \right)}^2} + 16{M^2}}}{{4M\left( {{M^2} + 4} \right)}} = \frac{{{M^4} + 24{M^2} + 16}}{{4M\left( {{M^2} + 4} \right)}}\).

Vậy \(N = \frac{{{M^4} + 24{M^2} + 16}}{{4M\left( {{M^2} + 4} \right)}}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Quy đồng, rút gọn biểu thức. Sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức.

Cho \(P = \frac{4}{5}\), giải phương trình tìm \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(P = 1 + \left( {\frac{{2x + \sqrt x  - 1}}{{1 - x}} - \frac{{2x\sqrt x  - \sqrt x  + x}}{{1 - x\sqrt x }}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne \frac{1}{4}\)

    \(P = 1 + \left( {\frac{{2x + \sqrt x  - 1}}{{1 - x}} - \frac{{\sqrt x \left( {2x + \sqrt x  - 1} \right)}}{{1 - x\sqrt x }}} \right).\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne \frac{1}{4}\)

    \(P = 1 + \left( {2x + \sqrt x  - 1} \right).\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{{\sqrt x }}{{1 - x\sqrt x }}} \right).\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne \frac{1}{4}\)

    \(P = 1 + \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)\frac{{1 - x\sqrt x  - \sqrt x  + x\sqrt x }}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x\sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne \frac{1}{4}\)

    \(P = 1 + \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x\sqrt x } \right)}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne \frac{1}{4}\)

    \(P = 1 + \frac{{\left( {1 - x} \right)\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt x  + x} \right)}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne \frac{1}{4}\)

    \(P = 1 - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne \frac{1}{4}\)

    \(P = \frac{{x + \sqrt x  + 1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} = \frac{{x + 1}}{{x + \sqrt x  + 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne \frac{1}{4}\)

Để \(P = \frac{4}{5}\) thì \(\frac{{x + 1}}{{x + \sqrt x  + 1}} = \frac{4}{5}\)\( \Rightarrow 5x + 5 = 4x + 4\sqrt x  + 4\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x - 4\sqrt x  + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4\sqrt x  + 4} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 2 = \sqrt 3 \\\sqrt x  - 2 =  - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 2 + \sqrt 3 \\\sqrt x  = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 7 + 4\sqrt 3 \\x = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = 7 - 4\sqrt 3 \end{array} \right.\)  (Thỏa mãn đk \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne \frac{1}{4}\))

Vậy \(P = \frac{4}{5}\) thì \(x = 7 + 4\sqrt 3 \) hoặc \(x = 7 - 4\sqrt 3 .\)

Chọn D.