Phương pháp giải:

Tham số hóa điểm \(A\) sau đó sử dụng công thức diện tích tìm\(A\). Viết phương trình \(CD\) và tính được \(D\).

Tham số hóa điểm \(C\) và dựa vào khoảng cách \(CD\) để tìm \(C\)

Lời giải chi tiết:

\(A \in d:x - y - 2 = 0 \Rightarrow A\left( {t;t - 2} \right)\)

\(S = A{D^2} = 10 \Rightarrow AD = \sqrt {10} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {A,CD} \right) = AD = \frac{{\left| {3t - t + 2} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \\ \Leftrightarrow \left| {2t + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {t + 1} \right| = 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t =  - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {4;2} \right)\\A\left( { - 6; - 8} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(A\left( {4;2} \right) \Rightarrow AD\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,A\left( {4;2} \right)\\ \bot CD:3x - y = 0\end{array} \right. \Rightarrow AD:x + 3y - 10 = 0\)

\(D = AD \cap CD \Rightarrow D:\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 10 = 0\\3x - y = 0\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {1;3} \right)\)

\(\begin{array}{l}C \in CD:3x - y = 0 \Rightarrow C\left( {c;3c} \right)\\CD = \sqrt {10}  \Rightarrow {\left( {c - 1} \right)^2} + {\left( {3c - 3} \right)^2} = 10 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( {2;6} \right)\\C\left( {0;0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH2:\(A\left( { - 6; - 8} \right) \Rightarrow AD:x + 3y + 30 = 0\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow D\left( { - 3; - 9} \right)\\C\left( {c;3c} \right) \Rightarrow {\left( {c + 3} \right)^2} + {\left( {3c + 9} \right)^2} = 10 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c =  - 2\\c =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( { - 2; - 6} \right)\\C\left( { - 4; - 12} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn  C.