Phương pháp giải:

Giả sử tọa độ tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BI \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BI}  = 0\\AI = BI \Rightarrow A{I^2} = B{I^2}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử tọa độ tâm \(I\left( {a;b} \right)\)

\(\overrightarrow {AI}  = \left( {a - 3;b - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BI}  = \left( {a;b - 2} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AI \bot BI \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BI}  = 0\\AI = BI \Rightarrow A{I^2} = B{I^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 3} \right).a + \left( {b - 1} \right)\left( {b - 2} \right) = 0\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 3a + {b^2} - 3b + 2 = 0\\ - 6a + 2b + 6 = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 3a + {b^2} - 3b + 2 = 0\\b = 3a - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 3a + {\left( {3a - 3} \right)^2} - 3\left( {3a - 3} \right) + 2 = 0\\b = 3a - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10{a^2} - 30a + 20 = 0\\b = 3a - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\\b = 3a - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( {1;0} \right)\\I\left( {2;3} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn  D.