Phương pháp giải:

Tham số hóa tọa độ điểm \(I\) và sử dụng tính chất \(AI \bot BI \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BI}  = 0\)

Lời giải chi tiết:

Do \(I \in d:x - y = 0 \Leftrightarrow I\left( {t;t} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AI}  = \left( {t + 1;t} \right);\,\overrightarrow {BI}  = \left( {t;t - 2} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình thoi \( \Rightarrow AI \bot BI \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BI}  = 0\)

\( \Rightarrow \left( {t + 1} \right).t + \left( {t - 2} \right).t = 0 \Leftrightarrow {t^2} + t + {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - t = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow I\left( {0;0} \right)\\t = \frac{1}{2} \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\end{array} \right.\)

Do \(I\) là trung điểm \(AC \Rightarrow I = \frac{{A + C}}{2} \Rightarrow C = 2I - A \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( {1;0} \right)\\C\left( {2;1} \right)\end{array} \right.\)

Chọn  C.