Phương pháp giải:

Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). Sau đó tìm trung điểm \(M\) của \(BC\) (dựa vào tính chất trọng tâm), tham số hóa điểm \(B,C\) và giải hệ phương trình

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G = BB' \cap CC' \Rightarrow G\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 1 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là trung điểm của \(BC\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {GM}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} - 1 = 2\left( {x - \frac{1}{2}} \right)\\\frac{1}{2} - 2 = 2\left( {y - \frac{1}{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\y =  - \frac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{4}; - \frac{1}{4}} \right)\)

Gọi điểm \(B\left( {3t - 1;t} \right),\,\,C\left( {v;v} \right)\) (do \(B \in BB';\,\,C \in CC'\))

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t - 1 + v = \frac{1}{2}\\t + v =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\v =  - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;1} \right),\,\,C\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{{ - 3}}{2}} \right)\)

Chọn  D.