Phương pháp giải:

a) Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức \(A,B\) mà \(B \ge 0\), ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{A^2}.\,B}  = A\sqrt B ,\,\,khi\,\,A \ge 0\\\sqrt {{A^2}.B}  =  - A\sqrt B ,\,\,khi\,\,A < 0\end{array}\)

b) Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\)

c) \(\sqrt {f\left( x \right)}  \ge g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) < 0\\f\left( x \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \ge {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt 5 \left( {\sqrt {20}  - 3} \right) + \sqrt {45} .\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt 5 \left( {\sqrt {20}  - 3} \right) + \sqrt {45} \\A = \sqrt 5 .\sqrt {20}  - 3.\sqrt 5  + \sqrt {{3^2}.5} \\A = \sqrt {100}  - 3\sqrt 5  + 3\sqrt 5 \\A = 10 + \left( { - 3\sqrt 5  + 3\sqrt 5 } \right)\\A = 10\end{array}\)

b) Chứng minh rằng \(\sqrt {24 + 16\sqrt 2 }  - \sqrt {24 - 16\sqrt 2 }  = 4\sqrt 2 .\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}VT = \sqrt {24 + 16\sqrt 2 }  - \sqrt {24 - 16\sqrt 2 } \\VT = \sqrt {16 + 2.4.2\sqrt 2  + 8}  - \sqrt {16 - 2.4.\sqrt 2  + 8} \\VT = \sqrt {{{\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {4 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} \\VT = \left| {4 + 2\sqrt 2 } \right| - \left| {4 - 2\sqrt 2 } \right|\\VT = 4 + 2\sqrt 2  - \left( {4 - 2\sqrt 2 } \right)\,\,\,\left( {do\,\,4 - 2\sqrt 2  > 0} \right)\\VT = 4 + 2\sqrt 2  - 4 + 2\sqrt 2 \\VT = 4\sqrt 2  = VP\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

c) Tìm tập hợp các giá trị của \(x\) sao cho \(\sqrt {2x + 1}  \le 5\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện: \(2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge  - 1 \Leftrightarrow x \ge  - \frac{1}{2}\)

Khi đó, bất phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow 2x + 1 \le 25\)

\( \Leftrightarrow 2x \le 24 \Leftrightarrow x \le 12\)

Kết hợp với điều kiện, ta có: \( - \frac{1}{2} \le x \le 12\)

Chọn A.