Phương pháp giải:

Thay giá trị \(x = 2\,\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào biểu thức \(A\) và tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

Khi \(x = 2\,\,\,\left( {tmdk} \right)\) ta thay vào biểu thức \(A\) ta được:

\(A = \frac{{2 + \sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2  + 1}} = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + 1}} = \frac{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}} = \frac{{3\sqrt 2  - 3 + 2 - \sqrt 2 }}{{2 - 1}} = 2\sqrt 2  - 1.\)

Vật với \(x = 2\) thì \(A = 2\sqrt 2  - 1.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\\,\,\, = \frac{{x + \sqrt x  + 1 - x - 2 - \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x  - 1 - x + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - x}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{ - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính biểu thức \(C,\) đánh giá giá trị của biểu thức \(C\) sau đó tìm \(x\) để \(C \in \mathbb{Z}.\)

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(C =  - A.B\)

\( \Rightarrow C =  - \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\frac{{ - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x  + 1 - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = 1 - \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}.\)

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1 \Rightarrow \sqrt x  + 1 > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} \ge 0\\C = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = 1 - \frac{1}{{\sqrt x  + 1}} < 1\end{array} \right. \Rightarrow 0 \le C < 1.\)

\( \Rightarrow C \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow C = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \(x = 0\) thì \(C =  - A.B\) nhận giá trị nguyên.

Chọn A.