Câu hỏi
Chọn đáp án đúng nhất:
Câu 1:
Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{4}{{\sqrt 5 - 1}} - 3\sqrt {45} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} .\)
- A \(A = - 5\sqrt 5 .\)
- B \(A = - 7\sqrt 5 .\)
- C \(A = 7\sqrt 5 .\)
- D \(A = 5\sqrt 5 .\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức \(\frac{A}{{\sqrt B - C}} = \frac{{A\left( {\sqrt B + C} \right)}}{{B - {C^2}}};\,\,\,\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\,\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right.\) để làm bài.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}A = \frac{4}{{\sqrt 5 - 1}} - 3\sqrt {45} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \frac{{4\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{5 - 1}} - 3\sqrt {{3^2}.5} + \left| {\sqrt 5 - 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = \sqrt 5 + 1 - 9\sqrt 5 + \sqrt 5 - 1\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,\sqrt 5 - 1 > 0} \right)\\\,\,\,\,\,\, = - 7\sqrt 5 .\end{array}\)
Vậy \(A = - 7\sqrt 5 .\)
Chọn B.
Câu 2:
Cho biểu thức: \(B = \left( {\frac{1}{{3 - \sqrt x }} - \frac{1}{{3 + \sqrt x }}} \right).\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\,\,\,\,\left( {x > 0,\,\,\,x \ne 9} \right).\)
Rút gọn biểu thức \(B\) và tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \(B > \frac{1}{2}.\)
- A \(\begin{array}{l}B = \frac{2}{{3 + \sqrt x }}\\x \in \left\{ {\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9} \right\}\end{array}\)
- B \(\begin{array}{l}B = \frac{2}{{3 + \sqrt x }}\\x \in \left\{ {\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8} \right\}\end{array}\)
- C \(\begin{array}{l}B = \frac{2}{{3 - \sqrt x }}\\x \in \left\{ {\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8} \right\}\end{array}\)
- D \(\begin{array}{l}B = \frac{2}{{3 - \sqrt x }}\\x \in \left\{ {\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8} \right\}\end{array}\)
Phương pháp giải:
Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức.
+) Giải bất phương trình \(B > \frac{1}{2}\) để tìm \(x.\) Đối chiếu với điều kiện của \(x\) và điều kiện \(x\) nguyên rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 9.\)
\(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{1}{{3 - \sqrt x }} - \frac{1}{{3 + \sqrt x }}} \right).\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\,\,\,\\\,\,\,\, = \frac{{3 + \sqrt x - 3 + \sqrt x }}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x }}{{3 - \sqrt x }}.\frac{1}{{\sqrt x }} = \frac{2}{{3 - \sqrt x }}.\end{array}\)
Ta có: \(B > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{{3 - \sqrt x }} > \frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{2}{{3 - \sqrt x }} - \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow \frac{{4 - 3 + \sqrt x }}{{2\left( {3 - \sqrt x } \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{2\left( {3 - \sqrt x } \right)}} > 0 \Leftrightarrow 3 - \sqrt x > 0\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x + 1 > 0\,\,\,\forall x \ge 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow x < 9.\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện \(x > 0,\,\,\,x \ne 9,\,\,\,x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8} \right\}.\)
Vậy \(x \in \left\{ {\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8} \right\}\) thì \(B > \frac{1}{2}.\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
