Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức.          

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\,\,;\,\,y > 0\).

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{2}{{\sqrt {xy} }} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\frac{{\sqrt {xy} \left( {x + y} \right) - xy}}{{x\sqrt x  + y\sqrt y }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt {xy}  + x + y}}{{xy}}.\frac{{\sqrt {xy} \left( {x + y - \sqrt {xy} } \right)}}{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {x + y - \sqrt {xy} } \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt {xy}  + x + y}}{{\sqrt {xy} }}.\frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt y }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt {xy} }}.\frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt y }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x  + \sqrt y }}{{\sqrt {xy} }}\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào bất đẳng thức Cô-si tìm giá trị nhỏ nhất của \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\,\,;\,\,y > 0.\)

Với \(x > 0\,\,;\,\,y > 0\,\,;\,\,xy = 16\) ta có: \(P = \frac{{\sqrt x  + \sqrt y }}{{\sqrt {xy} }} = \frac{{\sqrt x  + \sqrt y }}{{\sqrt {16} }} = \frac{{\sqrt x  + \sqrt y }}{4} = \frac{{\sqrt x }}{4} + \frac{{\sqrt y }}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x }}{4} + \frac{{\sqrt y }}{4}\,\,\,\,\left( {x > 0\,\,;\,\,y > 0\,\,;\,\,xy = 16} \right)\) ta được:

\(P = \frac{{\sqrt x }}{4} + \frac{{\sqrt y }}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{\sqrt x }}{4}.\frac{{\sqrt y }}{4}}  = \frac{{2\sqrt {\sqrt {xy} } }}{4} = \frac{{\sqrt {\sqrt {16} } }}{2} = 1\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x }}{4} = \frac{{\sqrt y }}{4}\\xy = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\xy = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 4\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(1\) khi \(x = y = 4.\)

Chọn B.