Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + \sqrt x  + 1 - x - 2 - \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + \sqrt x  + 1 - x - 2 - x + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{ - x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{ - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\, =  - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức \(Q = \frac{2}{P} + \sqrt x \)  rồi tìm GTLN của biểu thức nhờ bất đẳng thức Cô-si.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(Q = \frac{2}{P} + \sqrt x  = 2:\frac{{ - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} + \sqrt x \)

       \(\begin{array}{l} = \frac{{2\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{ - \sqrt x }} + \sqrt x  = \frac{{ - 2x - 2\sqrt x  - 2 + x}}{{\sqrt x }}\\ = \frac{{ - x - 2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }} =  - \sqrt x  - 2 - \frac{2}{{\sqrt x }} =  - \left( {\sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right) - 2.\,\,\,\,\,\left( {x > 0} \right)\end{array}\)

Với mọi \(x > 0\) ta có: \(\sqrt x ,\,\,\,\frac{2}{{\sqrt x }} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\sqrt x ,\,\,\frac{2}{{\sqrt x }}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{2}{{\sqrt x }}}  = 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow  - \left( {\sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right) \le  - 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow Q =  - \left( {\sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right) - 2 \le  - 2\sqrt 2  - 2.\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{2}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \(Max\,\,Q =  - 2\sqrt 2  - 2\) khi \(x = 2.\)

Chọn C.