Câu hỏi
Cho phương trình \(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\) (với \(x > 0,x \ne 1\) )
Câu 1: Rút gọn biểu thức \(A.\)
- A \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)
- B \(A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\)
- C \(A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)
- D \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)
Phương pháp giải:
Phân tích mẫu thức thành nhân tử sau đó quy đồng mẫu các phân thức rồi biến đổi để rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 1.\)
\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}\)
Chọn B.
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = A - 9\sqrt x \)
- A \( - 1\)
- B \( - 3\)
- C \( - 5\)
- D \(1\)
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P.\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 1.\)
\(P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right).\)
Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{1}{{\sqrt x }};\,\,\,9\sqrt x \) ta có:
\(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6 \Leftrightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow 9x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\,\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \( - 5\) khi \(x = \frac{1}{9}.\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
