Phương pháp giải:

Từ điều kiện xác định, biến đổi và đánh giá biểu thức để tìm GTNN của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0.\)

Ta có: \(P = \frac{{5\sqrt x  + 13}}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{{5\sqrt x  + 15 - 2}}{{\sqrt x  + 3}} = 5 - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\)

 \(\begin{array}{l}x \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x  \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x  + 3 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{1}{3}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad  \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{\sqrt x  + 2}} \ge \frac{{ - 2}}{3} \Leftrightarrow 5 + \frac{{ - 2}}{{\sqrt x  + 2}} \ge 5 + \frac{{ - 2}}{3}\\ \Rightarrow P \ge \frac{{13}}{3} \Rightarrow {P_{\min }} = \frac{{13}}{3}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\)  là \(\frac{{13}}{3}\) khi \(x = 0.\)

Chọn D.