Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  - 1}}{3}\\\;\;\; = \left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right).\frac{3}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\;\; = \frac{{ - \left( {x + \sqrt x  + 1} \right) + x + 2 + \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{3}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\;\; = \frac{{ - x - \sqrt x  - 1 + x + 2 + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{3}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\; = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{3}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{3}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{3}{{x + \sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Ta có: \(A = \frac{3}{{x + \sqrt x  + 1}}\)  

Ta có: \(x \ge 0,x \ne 1 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow x + \sqrt x  + 1 \ge 1 \Rightarrow \frac{3}{{x + \sqrt x  + 1}} \le 3\)

Dấu “=” xảy ra  \( \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là \(3\) khi \(x = 0.\) 

Chọn D.