Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x - 1}}\, = \frac{{x + 2\sqrt x  + 1 + x - 2\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} - \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} - \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2x + 2 - 3\sqrt x  - 1}}{{x - 1}} = \frac{{2x - 3\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2x - 2\sqrt x  - \sqrt x  + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\, = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Số \(x = {k^2}\) là số chính phương.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(2019A = 2019.\frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = 2019\left( {2 - \frac{3}{{\sqrt x  + 1}}} \right) = 4038 - \frac{{6057}}{{\sqrt x  + 1}}.\)

Vì \(2019A \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x  + 1 \in U\left( {6057} \right)\).

Mà \(\sqrt x  + 1 \ge 1\,\,\forall x \ge 0,\,\,x \ne 1 \Rightarrow \sqrt x  + 1 \in \left\{ {1;3;9;2019;6057} \right\}\).

TH1: \(\sqrt x  + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\) (tm).

TH2: \(\sqrt x  + 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)\).

TH3: \(\sqrt x  + 1 = 9 \Leftrightarrow \sqrt x  = 8 \Leftrightarrow x = 64\,\,\left( {tm} \right)\).

TH4: \(\sqrt x  + 1 = 2019 \Leftrightarrow \sqrt x  = 2018 \Leftrightarrow x = {2018^2}\,\,\left( {tm} \right)\).

TH5: \(\sqrt x  + 1 = 6057 \Leftrightarrow \sqrt x  = 6056 \Leftrightarrow x = {6056^2}\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,4;\,\,64;\,\,{{2018}^2};\,\,{{6056}^2}} \right\}\).

Chọn D.